Kąty dwuścienne w ostrosłupie prostym | Matematyka rozszerzona

Stereometria na poziomie rozszerzonym często sprowadza się nie tyle do biegłości rachunkowej, co do wyobraźni i poprawnego rozumienie pojęć. Dziś weźmiemy na warsztat klasyczne zadanie z ostrosłupem prostym i precyzyjnie wyjaśnimy, jak poprawnie lokalizować i obliczać kąty dwuścienne.

Zadanie 5.83 z "Matematyka 4. Zbiór Zadań do liceów i techników" Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Interaktywny Model 3D

Zanim przejdziemy do obliczeń, obejrzyj poniższy model. Możesz go swobodnie obracać, przybliżać i oddalać. Zwróć uwagę na to, gdzie opada wysokość bryły $SM$ i jak tworzą się kąty między ścianami.

Jaki ostrosłup nazywamy prostym i gdzie leży spodek jego wysokości?

Kluczem do zadania jest pojęcie ostrosłupa prostego. W geometrii ostrosłup prosty to taki, w którym wszystkie krawędzie boczne są równej długości. Z tej definicji wynika potężna własność:

Spodek wysokości ostrosłupa zawsze pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

W naszej podstawie mamy trójkąt prostokątny. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym zawsze znajduje się dokładnie w środku jego przeciwprostokątnej. Nazwijmy ten punkt $M$. To właśnie w punkcie $M$ "ląduje" wysokość całego ostrosłupa (odcinek $SM$).

Kąty dwuścienne – analityczne spojrzenie - Twierdzenie o trzech prostych

Aby wyznaczyć kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy (kąt dwuścienny), musimy poprowadzić dwa odcinki prostopadłe do wspólnej krawędzi, które spotkają się w jednym punkcie.

Możemy podejść do tego bardzo analitycznie: spodek wysokości ($M$) to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta z podstawy. Aby wyznaczyć kąt dwuścienny między np. ścianą $ACS$, a podstawą $ABC$, prowadzimy z punktu $M$ odcinek prostopadły do krawędzi $AC$. Ten odcinek (nazwijmy go $MF$) musi pokrywać się z symetralną boku $AC$, co oznacza, że punkt $F$ jest dokładnie środkiem krawędzi $AC$. Z kolei punkt $F$ jest wysokością ściany bocznej $ACS$ (ściana $ACS$ jest bowiem trójkątem równoramiennym). Pomiędzy odcinkiem $MF$, a odcinkiem $SF$ powstaje kąt dwuścienny.

Do problemu lokalizacji kąta dwuściennego można podejść od innej strony, wykorzystując potężne narzędzie, jakim jest twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Zamiast szukać wysokości ściany bocznej "w przestrzeni", zauważmy, że odcinek $MF$ leży w płaszczyźnie podstawy i z racji swojej konstrukcji jest prostopadły do krawędzi $AC$. Ponieważ jest on rzutem odcinka $SF$, wspomniane twierdzenie gwarantuje nam, że wysokość ściany bocznej ($SF$) również opada na krawędź $AC$ pod kątem prostym, dokładnie w punkcie $F$. Ramionami naszego kąta dwuściennego są zatem odcinki $SF$ i $MF$, a szukana miara to kąt $\sphericalangle SFM$.

Obliczenia

Przyjmijmy przyprostokątne: $|BC| = 8$ oraz $|AC| = 6$. Z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej wynosi $|AB| = 10$.

Ściana oparta na przeciwprostokątnej $(BCS)$: Spodek wysokości $M$ leży bezpośrednio na środku krawędzi $BC$. Cała wysokość $SM$ zawiera się w ścianie $BCS$. Oznacza to, że ściana ta jest prostopadła do podstawy (kąt nachylenia to $90^\circ$). Tangens dla kąta $90^\circ$ nie istnieje.

Ściana $ACS$ oparta na krawędzi $AC$: Odcinek $MF$ jest symetralną boku $AC$ trójkąta (równoległą do $BC$), a jego długość to połowa boku $BC$, czyli $|MF| = 4$ (wynika to z podobieństwa trójkątów $MFC$ i $BCA$). Znamy wysokość bryły $|SM| = 12$. Tangens szukanego kąta $\alpha$: $$\tan(\alpha) = \frac{|SM|}{|MF|} = \frac{12}{4} = 3$$

Ściana $BCS$ oparta na krawędzi $BC$: Analogicznie, rzut wysokości tej ściany to odcinek łączący $M$ ze środkiem krawędzi $BC$. Ma on długość połowy boku $AC$, czyli $3$. Tangens drugiego kąta $\beta$: $$\tan(\beta) = \frac{12}{3} = 4$$